函数视角下的中考超纲问题 (函数视角下的等差数列)

从函数的角度来思考2021年考数学第25题，我们可以看到这道题目涉及到了二次函数的图像与位置关系，让我们回顾一下学习过程中涉及到的一次函数和二次函数的知识。当我们学习一次函数时，我们讨论了两条直线的位置关系；学习二次函数时，我们研究了抛物线与直线的位置关系，以及双抛物线的情况。研究函数图像的位置与研究图形的位置关系有一些类似之处，但更多的需要从函数本身的性质出发。

2021年广东省中考数学试题中的第25题被认为难度较高，其中涉及了一个看似含有参数的一元二次不等式组的条件。题目给定了二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点(-1,0)，且对任意实数$x$，都有$4x-12leq ax^2+bx+cleq 2x^2-8x+6$。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 若(1)中的二次函数图像与$x$轴正半轴交点为$A$，与$y$轴交点为$C$，点$M$是(1)中二次函数图像上的动点，问在$x$轴上是否存在点$N$，使得以$A$、$C$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有满足 首先将点(-1,0)代入$y=ax^2+bx+c$中，可得$a-b+c=0$。对于这个含参不等式组，初中阶段无法直接求解，因此我们需要将它看作三个函数，即设$y_1=4x-12$，$y_2=2x^2-8x+6$，再加上$y=ax^2+bx+c$。如果函数$y$的图像夹在$y_1$和$y_2$之间，便可视为满足条件。由于$y_1$和$y$已知，我们不妨先看下它们是否有公共点，作为尝试。联立$y_1$和$y$得方程$4x-12=2x^2-8x+6$，解得$x=3$，说明这两个函数有唯一公共点(3,0)。这里可以通过想象力来理解，一次函数$y_1$是一堵墙，二次函数$y_2$是一个大胖子挨着墙(唯一公共点)，现在二次函数$y$要插到它们之间，那必须经过那个唯一公共点(3,0)。将坐标代入得$9a+3b+c=0$。由前面的方程和此方程我们可解得$b=-2a$，$c=-3a$，于是$y=ax^2-2ax-3a$。由于是唯一公共点，说明与一次函数$y_1$联立之后所得的方程有两个相等的实数根，联立方程$4x-12=ax^2-2ax-3a$，整理得$ax^2-(2a+4)x-3a+12=0$，其中$Delta=(2a+4)^2-4a(-3a+12)=0$，解得$a=1$，所以二次函数的解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 作为典型的平行四边形存在性探究，四个顶点中，点$A$和点$C$是定点，点$N$在$x$轴上，点$M$在$y$轴上，我们从两个定点出发，即线段$AC$，它可以是平行四边形的边，也可以是对角线。若$AC$为对角线，我们可得$ANparallel CM$，由于$A$、$N$均在$x$轴上，所以$CMparallel x$轴，说明点$M$的纵坐标与点$C$纵坐标相等，为-3，代入$y=x^2-2x-3$求得$M(2,-3)$，则$CM=2$，而$AN=CM=2$，可得点$N_1$坐标为(1,0)。若$AC$为边，不妨将线段$AC$向右平移，使点$C$与点$M$重合，仍然可得$AN=CM=2$，于是$N_2$坐标为(5,0)。我们还可以将线段$AC$向上平移得到$N_3$和$N_4$。由平行四边形性质可知，点$M_2$和点$M_3$纵坐标相同，所以只需要求出其中一个，另一个就容易得到，先看$M_3$、$A$、$C$、$N_4$构成的平行四边形。由平行四边形是中心对称图形，可知点$C$到$x$轴的距离一定等于点$M_3$到$x$轴的距离，所以将$y=3$代入$y=x^2-2x-3$中，求出两根为$1-sqrt{7}$和$1+sqrt{7}$，其中$M_3$坐标为$(1-sqrt{7},3)$，它与点$A$横坐标相差$2+sqrt{7}$个单位，而点$N_4$与点$C$横坐标也相差$2+sqrt{7}$个单位，因此得到$N_4(-2-sqrt{7},0)$。同理，求得点$N_3(-2+sqrt{7},0)$。

符合条件的点$N$有四个，分别是(1,0),(5,0),(-2-$sqrt{7}$,0),(-2+$sqrt{7}$,0)。

解题反思：作为压轴题的第1小题，那个一元二次不等式组的确很吓人，初中阶段并没有求解一元二次不等式组的内容，但并不意味着本题超纲。事实上我们在九年级学习二次函数时，研究过二次函数与一元二次方程的关系，再回顾八年级学习一次函数时，研究过一次函数与线性方程组的关系。